Dans le cadre géométrique, la relation OM * OP = R² est susceptible de multiples interprétations. Une première réécriture⁷ en OP/R = R/OM nous conduit au registre « Thalès ». On peut l'écrire OP/OC = OA/OM, qui traduit le parallélisme des droites (CM) et (AP). La construction de P, puis de N en découlent (voir Figure 2).

Dans cette interprétation, aucune longueur n'est directement utilisée : cette construction diffère profondément de la précédente.

On définit ici une fonction qui transforme M en P (ou M en N) qui n'est liée à aucune formule.

Figure 2 (à télécharger)

-----------------------------------

7 Cette réécriture est d'une grande difficulté en Collège. Elle suppose un travail préalable, hors contexte informatique. Mais elle est suffisamment riche (elle transforme une écriture inexploitable en une forme qui permet une interprétation par la réciproque de Thalès) pour qu'on lui accorde du temps. Les réécritures sont essentielles dans tous les domaines des Mathématiques.