b) Une transformation ponctuelle qui sort de l'ordinaire...

On peut proposer des prolongements à l'énoncé initial, en ces termes :

On donne un point fixe O et une longueur R. A tout point M distinct de O, on associe le point M', situé sur la demi-droite [OM) (d'origine O) et vérifiant :

OM * OM' = R²

Pourquoi fait-on l'hypothèse MO ?

Construisez M' à partir de M.

Observez le déplacement de M' en fonction de M. Commentez.

Cette transformation conserve-t-elle les distances ?

Placez M sur une droite (D). Sur quelle ligne semble alors se déplacer M' ? (on pourra utiliser la commande « lieu »). Déplacez (D).Décrivez.

Placez M sur un cercle (C). Sur quelle ligne semble se déplacer M' ? (on pourra utiliser la commande « lieu »). Déplacez (D). Décrivez.

Placez M sur un triangle (T). Sur quelle ligne semble se déplacer M' ? (on pourra utiliser la commande « lieu »). Déplacez (T). Décrivez.

On voit bien le rapport de cette partie avec le début de l'énoncé, où l'on construisait P (puis N) à partir de M. On peut remplacer les données de O et de R par celle du cercle ( ) de centre O et de rayon R. On construit ensuite la demi-droite [OM) et celle qui s'en déduit par rotation de centre O et d'angle 90°. Nous sommes alors exactement dans la situation qui vient d'être traitée¹⁰. On a donc 4 manières distinctes de construire P, dont on déduit M', intersection de [OM) et du cercle (O, OP).

On peut ensuite, pour chacune des constructions réalisées, définir la macro-construction associée. Dans ces quatre macros ¹¹, les objets initiaux sont ( ) et M. L'objet final ¹² est le point M'. A chaque donnée d'un cercle et d'un point (distinct du centre du cercle) la macro associe un unique point M' situé sur [OM) et vérifiant OM*OM'=R². On retrouve un processus fonctionnel, déjà signalé plus haut, mais largement complexifié. A tout couple (Cercle, point) cette « fonction » associe un unique point M'. En général, on fixe le cercle ( ) (son centre O et son rayon R) et on définit ainsi la « fonction » qui associe à tout M O  l'unique point M' :  :M M'.

est appelée inversion de cercle ( ). ( ) joue le rôle de « paramètre » de I.

Les macros réalisées sont successivement enregistrées (sous les noms Inv_num, Inv-Thalès, Inv_tr_rect, Inv_tr_rect1 : ce sont des fichiers .mac ). Elles sont alors utilisables à tout moment d'une activité géométrique avec Cabri. Elles sont offertes en téléchargement sur EducMath.

A partir de là, on peut traiter la suite du problème. On ouvre les quatre macros (commande « fichier » puis « ouvrir » et désigner successivement chaque macros). Elles sont ajoutées au menu « macro » et utilisables à la demande.

On construit (O, R) et le point M.

Dans le menu « macros », on clique sur Inv_Thalès (par exemple), puis on désigne les objets initiaux, cercle (cliquer) et point M (cliquer)  : à partir de ces « objets initiaux, Cabri construit M', inverse de M. On peut alors nommer ces deux points, puis déplacer M et observer M'.

On remarque que quand M s'approche de O, M' s'en éloigne (jusqu'où ?) ; quand M s'éloigne de O, M' s'en approche (jusqu'à quel point ?).Quand M est sur , M'est confondu avec M. Les élèves sont invités à expliquer ces observations.

On pourra faire d'intéressantes observations à propos de fractions dont le numérateur est fixé et dont le dénominateur est de plus en plus voisin de 0 (ou de plus en plus grand) : c'est une première approche de la notion de limite. On distinguera bien sûr le plan mathématique (infiniment étendu et infiniment divisible) et l'écran graphique, avec son nombre fini de pixels (entre deux pixels continus, il n'y a rien). On peut comprendre ainsi pourquoi à l'écran, M' peut se trouver en O (prendre R petit et M loin de O)

On construit ensuite une nouvelle figure, ( ) et une droite (D). On place M sur (D) (point sur objet). On construit l'image M' de M par l'inversion (au moyen d'une des quatre macros au choix ). On déplace M sur (D) et on observe M'. On matérialise la ligne où se déplace M' en construisant le lieu de M' quand M varie sur (D) (commande « lieu », cliquer sur M', puis sur M). On obtient la figure suivante (Inv_droite.fig), sur laquelle on peut agir de différentes manières : on déplace (D) parallèlement à elle-même (saisir A) ou en la basculant autour de A. On peut aussi déplacer ( ) ou modifier son rayon. Le « lieu » est recalculé instantanément. Ces images dynamiques sont fort complexes et doivent être longuement fixées, étudiées et commentées. On regardera en particulier de qui se passe quand (D) s'approche de O.

Figure 5 (à télécharger)

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10 Dans la première partie, les demi-droites étaient premières et M était sur une de ces demi-droites. Ici c'est M qui est la donnée initiale, dont on déduit les demi-droites. C'est essentiel si on veut que les futures macro-constructions puissent être validées.

11 On peut se contenter des deux premières, si on se refuse à utiliser les propriétés du triangle rectangle en Collège.

12 Attention : Inv_tr_rect1 a deux objets finaux , correspondant chacun à un des deux cas de figure.