2°) Approche algébrique et prolongements de cette activité en lycée.

Dans Repères-Irem n° 30, l'activité qui précède avait été traitée dans le cadre algébrique, à l'aide du traceur de courbes Graph'x (télécharger le logiciel et les fichiers de cet article et voir en Annexe, le mode d'emploi). Celui-ci possède une qualité essentielle et à ma connaissance unique parmi les traceurs : il permet de transformer une courbe ¹³ définie pas son équation, en une courbe par simple introduction des formules mathématiques de la transformation¹⁴. Si I transforme M(x,y) en M'(x',y') tel que x' = f(x,y) ; y' = g(x,y), il suffit d'écrire l'équation paramétrique de sous Graph'x :

x(t) = f(xi,yi) ; y(t) = g(xi,yi).

Le logiciel interprète xi et yi comme coordonnées du point courant de la courbe i () et trace alors point par point la courbe i+1, (), image de par I (le tracé point par point doit être demandé au logiciel¹⁵ : c'est pédagogiquement très important, comme nous l'avons déjà signalé plus haut. Il faut encore préciser que la courbe initiale peut être introduite en machine indifféremment sous forme cartésienne, paramétrique ou polaire. Ces qualités sont suffisamment importantes¹⁶ pour que nous continuions à utiliser ce logiciel malgré son côté un peu… « archaïque » sur le plan technique. On peut, grâce à ces propriétés, tracer les inverses des courbes données par une équation, pourvu qu'on connaisse les formules caractérisant l'inversion. C'est l'idée du problème que j'avais proposé à des élèves de Première S dans l'ancien article de Repères. J'en rappelle l'énoncé :

Les six premières questions du problème reprennent dans le cadre algébrique l'activité traitée plus haut sous Cabri. Cette approche a ses difficultés propres. Ici, on ne déplace pas les courbes à la souris, mais en agissant sur leurs équations… Ce n'est pas triste !

Inversion, asymptotes et tangentes.

Les questions 7 et 8 ouvrent sur des prolongements qui ont été à peine esquissés dans l'ancien article de Repères. Comment sont transformées par inversion les branches infinies des courbes ? En Première S, on peut aller au-delà des conjectures, pourvu qu'on ait compris la notion de dérivée et son versant géométrique, la tangente.

Traitons en détail l'exemple suivant :

On veut transformer par inversion de centre 0 et de rapport 2 l'hyperbole d'équation y=x+1+ . Sous Graph'x on définit une courbe n° 1 de la façon suivante :

Puis on définit la courbe suivante (courbe n° 2) comme suit :

En lançant le tracé, on obtient les deux courbes sur le même écran :

La commande « Zoom », appliquée répétitivement à un rectangle centré à l'origine donne les tracés suivants :

On n'est guère surpris que la courbe transformée entre dans un rectangle contenant l'origine : les points les plus proches de O de la courbe initiale, sont transformés en les points les plus éloignés de O de la courbe image. Les points » très éloignés de O » sont transformés en des points « très proches de O ». Les zooms successifs autour de O font apparaître des « trous » que l'ancien article de Repères explique clairement. Mais ils laissent aussi entrevoir que la courbe transformée, complétée par le point O, possède en O deux tangentes parallèles aux asymptotes de la courbe initiale . Il n'est pas bien difficile de le prouver.

Prenons par exemple un point M de l'hyperbole, dont l'abscisse tende vers plus l'infini. L'étude de la limite à l'infini de montre ¹⁷ que (OM) tend vers une position limite, parallèle à l'asymptote (y=x+1). Un raisonnement géométrique simple conduit aux mêmes conclusions.

Dans ces conditions, OM' tend vers 0. M' tend donc vers O sur la courbe inverse. La droite (OM'), qui est la même que (OM), admet la même position limite. La courbe inverse de l'hyperbole, complétée par O, admet donc en O une tangente d'équation y=x.

Un raisonnement analogue montre qu'elle admet en O la droite (Oy) comme tangente.

Pour la parabole d'équation y= , on montre que l'inverse complétée par O admet (à deux titres ¹⁸) (Oy) comme tangente en O (la position limite de (OM) est mise en évidence par la limite à l'infini de ). Il en est de même de l'inverse de toute courbe ayant des branches paraboliques de direction (Oy).

Il est intéressant de considérer de ce point de vue le « curieux insecte » obtenu en inversant la courbe d'équation y= . On peut rompre la symétrie de la courbe inverse en remplaçant cos(x) par cos (x-1) par exemple.

On peut aussi s'interroger sur la réciproque de la propriété mise en évidence : soit une courbe passant par O et ayant en O une tangente parallèle à une droite (D). Comment se traduit cette propriété sur la transformée de cette courbe privée de O ?

Une transformation involutive ¹⁹.

Enfin, conséquence de la facilité de transformer une courbe sous Graph'x, il n'est pas très compliqué de mettre en évidence le caractère involutif de l'inversion. Il suffit de proposer la question suivante :

Pour chaque courbe transformée par l'inversion, on cherche à transformer la courbe image (courbe n° 2) par la même inversion . Comment réaliser ce projet sous Graph'x ? Que découvre-t-on ? Expliquez le phénomène observé. Pour distinguer la courbe initiale (n°1) de la courbe finale (n° 3), on peut ne pas tracer la courbe n° 2 (Trait #) et mettre la courbe n° 3 dans une couleur distincte de la courbe n°1.

Voici ci-dessous l'écran correspondant à la courbe 3 qu'il convient d'ajouter pour obtenir, dans chaque cas, le résultat demandé (la courbe, l'inverse et l'inverse de l'inverse…).

Ce qu'on observe, la probable superposition des courbes 1 et 3 s'explique par le fait que l'inversion échange M et M' : .  :M M'.  :M' M.

Des usages performants de Graph'x en Collège ?

Il serait erroné de croire que Graph'x n'a d'applications qu'en Lycée. On peut poursuivre en Collège l'exploration des « transformations qui changent les formes » dès qu'on a la notion de coordonnées d'un point dans un repère.

On peut alors proposer une activité « papier » dont les règles sont les suivantes : à tout M(x,y) on associe M' (x',y'), x' et y' étant calculés à partir de x et de y (par exemple : x'=2x+3y ; y'=-x+y). On peut calculer « à la main » x' et y' pour plusieurs points et mettre en place M'. On peut regarder ce que deviennent les images de points alignés, les images de trois points formant un triangle etc. De nombreuses notions et propriétés sont accessibles à ces démarches simples et expérimentales, hors environnement informatique.

Quand la démarche est bien comprise, on peut l'automatiser par Graph'x , comme nous l'avons fait précédemment. Rien n'empêche de donner aux élèves l' équation de courbes simples (on part évidemment des droites) et de jouer sur les transformations. On peut aussi leur demander « d'inventer des formules » qui donnent des images intéressantes… L'activité crée des images mentales fort importantes pour la suite. En voici un exemple (image de la droite d'équation y=x+1) :

On peut transformer une droite en une courbe plus compliquée (et plus spectaculaire). En voici une illustration :

On peut s'amuser à remplacer sin(2y1) par sin( y1) dans la formule de transformation, en étendant l'ensemble d'étude à [-100,100] par exemple. Les changements sont spectaculaires. En Collège, on se contentera d'observer. En Première ou en Terminale, on poussera les élèves à interpréter.

Conclusion.

L'élève de Collège ou de Lycée qui a participé aux activités décrites dans cet article (et dans le précédent, il ne faut pas les séparer), a un regard neuf sur les transformations. Il a compris que celles qui « conservent » sont loin d'être la généralité. Il sait maintenant en « fabriquer » de nombreuses, qui transforment une droite en courbe complexe.

Il a pratiqué de nombreux « changements de cadres et de registres », dont on connaît le caractère formateur. Il a rencontré au passage une transformation géométrique, l'inversion, qui joue un rôle essentiel en cartographie (projection stéréographique), en électronique et en mécanique des fluides, sans parler de la géométrie.

Il a fait les indispensables allers-retours entre les environnements « papier-crayon » et informatique, qui permettent, au prix d'un travail soutenu, de transformer des conjectures (nées de l'observation patiente des figures informatiques) en propriétés démontrées (l'informatique n'est d'aucune utilité dans cette étape).

Au-delà des considérations pédagogiques, la parution simultanée de cet article dans Repères-Irem et sur EducMath est une première qui convaincra peut-être les sceptiques du caractère complémentaire des deux modes d'édition. Si l'évolution des esprits était amorcée dans ce sens, cette co-édition aurait pleinement atteint son but… L'article peut être discuté sur les deux supports, sur le forum qui lui est associé sur EducMath et dans le courrier des lecteurs de Repères-Irem. Si des propositions significatives en résultaient (des améliorations et des extensions), EducMath publiera une nouvelle version de l'article que Repères-Irem signalera à ses lecteurs. -

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13 Graph'x numérote les courbes.

14 Les choses se passent bien pour des courbes simples. Mais il ne faut pas attendre de miracles quand les courbes sont complexes. C'est l'occasion de réfléchir avec les élèves aux limites de l'outil informatique.

15 On l'obtient en fixant à 7 le paramètre de « Trait » (Cf. plus loin).

11 Il a été écrit par un professeur de mathématiques, Paul Moutte et ça se voit !

17 est la tangente trigonométrique de l'angle ( , ).

18 Point de rebroussement.

19 Transformation dont le carré égale l'identité.

Annexe 1  : mise en place de Graphix.

Dans l'article en ligne, télécharger les fichiers zippés (suivre les indications). Procéder à l'extraction des fichiers.

Une fois les extractions effectuées, on trouve l fichier traceur.exe et les fichiers de l'article (suffixe .grx) dans le répertoire Graph'x

Un double clic sur traceur.exe génère les fichiers indispensables. Aux différentes questions posées à cette étape, répondre ‘y' et valider (‘y' pour ‘yes' !).

Le fichier programme est GRAPHIX. On pourra mettre un raccourci sur le bureau. Le répertoire « exemples » contient de très nombreux exemples des possibilités du logiciel. Le fichier Demo est un fichier de démonstration.

Par les touches « Alt » + F10, on accède au disque. On choisit un fichier (suffixe .grx) puis on le « lit ».

La touche F1 lance le tracé. La touche « Echap » interrompt le tracé et permet de modifier paramètres et équations des courbes.

Un bandeau (en bas de l'écran) précise différentes commandes.

Annexe 2 : mise en œuvre de ces activités avec des élèves.

L'activité proposée en Collège entre dans le cadre des travaux de synthèse (au troisième trimestre par exemple) avec utilisation l'outil informatique.

Tout problème suppose d'abord un travail en environnement papier/crayon/tableau, pour le comprendre, le traduire par des relations, envisager la construction de figures dynamique (Quelles figures ? Comment les construire).

Vient ensuite le travail avec Cabri : le problème peut être le moyen de découvrir et d'utiliser différentes commandes du logiciel. Cette étape recèle de nombreux pièges : une figure Cabri est un ensemble de liens logiques. Bien des élèves se contentent d'une figure approximative qui ne résiste pas aux déplacement de ses éléments…

L'interprétation des figures, la mise en évidence des invariants constitue une étape capitale du travail. Elle donne lieu en fin de parcours à un compte-rendu écrit (qu'avons-nous fait ? Qu'avons-nous constaté ? Quelle interprétation proposons-nous ? Comment le démontrer ?).

L'ensemble de l'activité « Collège » peut s'étaler sur tout un trimestre. Ainsi les élèves apprendront à gérer une activité de « longue durée » et à réinvestir dans un problème de nombreuses connaissances éparses… Le travail en groupe est un attrait supplémentaire.

Ces activités proposées en Collège peuvent constituer (dans le même contexte) d'utiles révisions en Seconde. La seconde partie de l'activité (avec Graphix) peut se traiter dans le même cadre (et le même esprit) en Première et Terminale.