Autre interprétation géométrique suggérée par OM*OP=R², celle d'une hauteur d'un triangle rectangle, moyenne proportionnelle entre les segments qu'elle détermine sur l'hypoténuse⁸. La figure_n_3_tr_rect en rend compte.

Figure 3 (à télécharger)

Une seconde interprétation de cette relation « dans le triangle rectangle », celle d'un côté de l'angle droit, moyenne proportionnelle entre les segments qu'elle détermine sur l'hypoténuse, présente une difficulté technique. Elle suppose deux constructions différentes suivant que OM est supérieur ou inférieur à R. Cabri prend en charge de telles constructions conditionnelles, comme le montrent les deux copies d'écran (a et b) de la même figure dynamique (Figure_n_4_tr_rect1). Mais la construction du lieu se fait aussi en deux temps, à partir des deux situations⁹. On le voit, les différentes interprétations de la relation initiale n'ont pas le même coût !

Figure 4 (à télécharger).

On peut ainsi, à propos de cet exercice simple, mobiliser de multiples connaissances mathématiques et conduire les élèves à pratiquer nombre de changements de cadres et de registres. Nous allons maintenant utiliser ces acquis pour aborder une notion plus abstraite, celle de « transformation ».

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8 Cette propriété du triangle rectangle (et la suivante) ne sont pas au programme de Collège. Rien n'empêche de les donner aux élèves (dans le contexte Cabri, elles se vérifient aisément), en annonçant leur démonstration en lycée. Cela permet d'approfondir la notion de « macro », donc de fonction. Mais on peut aussi renvoyer cette partie en Première ou Terminale scientifique.

9 Suivant la position de OM par rapport à R, Cabri construit la partie de lieu correspondant à cette situation.