Plaidoyer pour des transformations qui changent les formes.

Gérard Kuntz (g.kuntz@libertsurf.fr)

Les différentes transformations ponctuelles qui sont proposées aux élèves tout au long du Collège et du Lycée possè dent des vertus rares (et précieuses) dans la grande famille des transformations ponctuelles : elles conservent les formes, les angles géométriques (parfois orientés), l'ali gnement, le parallélisme, l'orthogonalité, les barycentres, le contact... L'élève qui subit l'énumération, puis la démonstration répétitive de ces propriétés, finit par se dire qu'elles sont la règle. Cette erreur de perspective explique l'ennui, perceptible en Première et Terminale, face à des démonstrations de théorèmes considé rés comme « évidents » par accumulation. Rien de tel pour réveiller l'intérêt, que de proposer aux élèves une transformation ponctuelle qui ne soit pas systémati quement conservatrice, par exemple l'inversion. Elle fut longtemps enseignée en Terminale, avant l'émergence de l'outil informatique, puis injustement oubliée. Elle peut être étudiée, grâce à l'informatique, dès le Collège. On se contente, à ce niveau, d'observer, de décrire et d'établir quelques propriétés liées à sa définition. En Première, la démarche théorique peut partiellement expliquer et justifier certaines images informatiques étonnantes. En Terminale, l'inversion est un excellent sujet de travaux dirigés, en relation avec les nombres complexes par exemple¹.

Cet article reprend les idées principales de celui qui parut dans Repères-Irem n° 30 sous le titre : «  Une transformation oubliée qui sort de l'ordinaire : l'inversion ». Il les complète en adoptant de nouveaux points de vue, en utilisant largement Cabri (à côté de Graph'x) et en situant résolument l'origine de l'activité dès le Collège.

Mais surtout, cet article inaugure une co-édition de Repères-Irem² et du site EducMath³ qui conjuguent ainsi leurs forces respectives : la pérennité de l'édition papier et la rigueur de l'écrit⁴ d'une part, la facilité d'accès, la possibilité de proposer des figures dynamiques téléchargeables et le forum de discussion associé à l'article d'autre part. Si l'expérience est concluante, elle pourra être étendue à d'autres articles que la double édition permet de valoriser.

1°) Des activités en Collège.

a) Un problème d'aire.

On propose l'énoncé suivant :

On donne un carré OABC, dont la longueur du côté est R. On donne un point M sur la demi-droite [OA). Construire un point P sur la demi-droite [OB) de façon que le rectangle OMNP ait même aire que celle du carré. Sur quelle ligne se déplace N quand M parcourt la demi-droite OA ? Il est conseillé de construire la figure avec un logiciel de géométrie dynamique.

Dans l'article, nous utiliserons Cabri pour réaliser les figures.

On trace une « demi-droite » d'origine O que l'on fait « tourner » (rotation de centre O et d'angle 90°). On place A et M sur la première demi-droite, puis B, par la même rotation appliquée à A, sur la seconde demi-droite.

Les hypothèses se traduisent par la relation OM*OP=R². On peut l'interpréter de différentes manières.

Dans le cadre numérique, on écrit : OP=R²/OM. On fait alors afficher la longueur⁵ R de [OA] et celle de [OM]. On introduit ces valeurs dans la calculatrice de Cabri pour évaluer la longueur de [ON] que l'on reporte (« report de mesure ») sur la demi-droite OC. On obtient ainsi le point P. Il suffit alors de construire N (« droite perpendiculaire » et « point sur deux objets »).

En déplaçant M sur la demi-droite OA (« point sur objet »), N se déplace sur une « ligne » (on dira une courbe) qui passe par B (on demande la raison aux élèves). On peut matérialiser cette courbe avec la commande « lieu »⁶.